Kí hiệu các điểm như trênh hình vẽ. Gọi r1 và r2 lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác CBH và CHA và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Dễ dàng chứng minh được : \(\Delta HBC~\Delta CBA\left(g.g\right)\Rightarrow\left(\frac{r_1}{r}\right)^2=\left(\frac{BC}{AB}\right)^2\)
và \(\Delta HAC~\Delta CAB\left(g.g\right)\Rightarrow\left(\frac{r_2}{r}\right)^2=\left(\frac{AC}{AB}\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{r_1^2+r_2^2}{r^2}=\frac{AC^2+BC^2}{AB^2}=\frac{AB^2}{AB^2}=1\Rightarrow r_1^2+r_2^2=r^2\)
Như trên hình vẽ ta có : \(EF^2=FK^2+KE^2=\left(r_1+r_2\right)^2+\left(r_2-r_1\right)^2=2\left(r_1^2+r_2^2\right)=2r^2\)
\(\Rightarrow EF=\sqrt{2}r\). Ta có EF đạt giá trị lớn nhất khi r đạt giá trị lớn nhất.
Mà ta có : \(OI^2=R\left(R-2r\right)\) (Mình sẽ chứng minh ở bài khác)
\(\Rightarrow r=\frac{R-\frac{OI^2}{R}}{2}=\frac{R^2-OI^2}{2R}\)
Vì R không đổi nên r đạt giá trị lớn nhất khi OI đạt giá trị nhỏ nhất.
Mà theo công thức ba điểm ta lại có : \(OI\ge OC-IC=R-IC\)
Dấu "=" xảy ra khi O,I,C thẳng hàng => C là điểm chính giữa cung AB .
Vậy C là điểm chính giữa cung AB thi EF đạt giá trị lớn nhất
Cái đoạn \(OI^2=R\left(R-2r\right)\) chính là hệ thức Euler, bạn có thể tham khảo cách chứng minh ở nguồn khác nhé :)
