Gọi
A = 44…4 có 2n chữ số 4
B = 22…2 có n + 1 chữ số 2
D = 88…8 có n chữ số 8
Ta có
A = 4(10^(2n−1) + 10^(2n−2) + … + 1)
B = 2(10^n + 10^(n−1) + … + 1)
D = 8(10^(n−1) + … + 1)
Nhận thấy
10^(2n−1) + … + 1 = (10^n + … + 1)(10^n − 1)/9
Biến đổi và quy đồng, rút gọn được
C = A + B + D = (2(10^n − 1)/9 + 1)^2
Vì biểu thức có dạng bình phương của một số tự nhiên nên
C là số chính phương.