Question

Cho biểu thức:

\(P=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{a-1}-\frac{\sqrt{a}+2}{a+2\sqrt{a}+1}\right):\left(\frac{2}{1-a}\right)^2\)

a) rút gọn P

b) tìm Max P

Answer 1

Điều kiện xác định \(a\ge0,a\ne1.\)

Ta có \(P=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{a-1}-\frac{\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+1\right)^2}\right)\cdot\left(\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{\left(\sqrt{a}-2\right)\left(a-1\right)}{4}-\frac{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)^2}{4}=\frac{\sqrt{a}-a}{2}.\)

Từ đây ta có \(P=\frac{\sqrt{a}-a}{2}=\frac{-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}}{2}\le\frac{1}{8}.\)  Dấu bằng xảy ra khi \(a=\frac{1}{4}\). Vậy giá trị lớn nhất của P là \(\frac{1}{8}.\)