Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
HHHHHHHHH

Cho ba số x, y , z thỏa mãn : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2020\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2020}\end{matrix}\right.\)

Tính giá trị của biểu thức \(P=\left(x^{2009}+y^{2009}\right)\left(y^{2011}+z^{2011}\right)\left(z^{2013}+x^{2013}\right)\)

Giải giúp mik với . Mik đag cần rất gấp.Bạn nào tl đúng ,chính xác và nhanh thì mik tick đúng cho.

kudo shinichi
11 tháng 10 2019 lúc 21:04

Violympic toán 9

Lê Thị Thục Hiền
11 tháng 10 2019 lúc 21:05

Thay x+y+z=2020 vào \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2020}\) có:

\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)

<=>\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)

<=>\(x^2y+xy^2+xyz+xyz+y^2z+yz^2+x^2z+xyz+xz^2=xyz\)

<=>\(xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+y^2z+x^2z+3xyz-xyz=0\)

<=>\(\left(x+y\right)\left(xy+z^2\right)+z\left(y^2+x^2+2xy\right)=0\)

<=>\(\left(x+y\right)\left(xy+z^2\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)

<=>\(\left(x+y\right)\left(xy+z^2+xz+yz\right)=0\)

<=>\(\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]=0\)

<=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Tại x=-y => \(x^{2009}=-y^{2009}\)

<=>\(x^{2009}+y^{2009}\)=0

\(P=\left(x^{2009}+y^{2009}\right)\left(y^{2011}+z^{2011}\right)\left(z^{2013}+x^{2013}\right)=0\left(y^{2011}+z^{2011}\right)\left(z^{2013}+x^{2013}\right)=0\)

Tương tự các trường hợp kia cũng => P=0

Vậy P=0

Nguyễn Thị Diễm Quỳnh
11 tháng 10 2019 lúc 21:09

từ giả thiết ta suy ra : \(x,y,z\ne0\)

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2+xy\right)=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(xz+z^2\right)+\left(yz+xy\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\z+y=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^{2009}=-y^{2009}\\y^{2011}=-z^{2011}\\z^{2013}=-x^{2013}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^{2009}+y^{2009}=0\\y^{2011}+z^{2011}=0\\z^{2013}+x^{2013}=0\end{matrix}\right.\)

Vậy P = 0


Các câu hỏi tương tự
Trần khanh hòa
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Phạm Băng Băng
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
Đăng Vu Vài
Xem chi tiết
Đăng Vu Vài
Xem chi tiết