Cho ba số x, y , z thỏa mãn : \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=2020\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2020}\end{matrix}\right.\)
Tính giá trị của biểu thức \(P=\left(x^{2009}+y^{2009}\right)\left(y^{2011}+z^{2011}\right)\left(z^{2013}+x^{2013}\right)\)
Giải giúp mik với . Mik đag cần rất gấp.Bạn nào tl đúng ,chính xác và nhanh thì mik tick đúng cho.
Thay x+y+z=2020 vào \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2020}\) có:
\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
<=>\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
<=>\(x^2y+xy^2+xyz+xyz+y^2z+yz^2+x^2z+xyz+xz^2=xyz\)
<=>\(xy\left(x+y\right)+z^2\left(x+y\right)+y^2z+x^2z+3xyz-xyz=0\)
<=>\(\left(x+y\right)\left(xy+z^2\right)+z\left(y^2+x^2+2xy\right)=0\)
<=>\(\left(x+y\right)\left(xy+z^2\right)+z\left(x+y\right)^2=0\)
<=>\(\left(x+y\right)\left(xy+z^2+xz+yz\right)=0\)
<=>\(\left(x+y\right)\left[x\left(y+z\right)+z\left(y+z\right)\right]=0\)
<=>\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}x=-y\\y=-z\\x=-z\end{matrix}\right.\)
Tại x=-y => \(x^{2009}=-y^{2009}\)
<=>\(x^{2009}+y^{2009}\)=0
Có \(P=\left(x^{2009}+y^{2009}\right)\left(y^{2011}+z^{2011}\right)\left(z^{2013}+x^{2013}\right)=0\left(y^{2011}+z^{2011}\right)\left(z^{2013}+x^{2013}\right)=0\)
Tương tự các trường hợp kia cũng => P=0
Vậy P=0
từ giả thiết ta suy ra : \(x,y,z\ne0\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz+yz+z^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2+xy\right)=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(xz+z^2\right)+\left(yz+xy\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\z+y=0\\x+z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^{2009}=-y^{2009}\\y^{2011}=-z^{2011}\\z^{2013}=-x^{2013}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^{2009}+y^{2009}=0\\y^{2011}+z^{2011}=0\\z^{2013}+x^{2013}=0\end{matrix}\right.\)
Vậy P = 0
