Đề bài thiếu điều kiện rồi :")))
thêm điều kiện đi rồi giải cho
Ta có 3x+yz=(x+y+z )x+yz=(x+y)(x+z) (vì x+y+z=3)
Theo BĐT BunhiaCopxki ta có:
\(\left(\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\right)^2\le\left(x+y\right)\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\le\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{xz}+\sqrt{yz}\le x+\sqrt{3x+yz}\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)
Cmtt: \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\\\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\end{cases}}\)
Cộng 3 vế BĐT trên cùng chiều ta được
\(\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=1
