Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dương Tuyết Ánh

Cho ba số dương a,b,c . CMR :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)\(\dfrac{3}{2}\)

Phùng Khánh Linh
12 tháng 5 2018 lúc 17:30

A = \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

A = \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)

Áp dụng BĐT Cô - Si dạng Engel vào bài toán , ta có :
\(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\) ( * )

Ta lại có BĐT : x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx

⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ac

⇔ ( a + b + c)2 ≥ 3( ab + bc + ac)

\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ac}\) ≥ 3 ( **)

Từ ( *;**) ⇒ \(\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{b^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{c^2}{c\left(a+b\right)}\)\(\dfrac{3}{2}\)

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)\(\dfrac{3}{2}\)


Các câu hỏi tương tự
Pun Cự Giải
Xem chi tiết
Leo
Xem chi tiết
pro
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
Như Dương
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Rinho Carlsen
Xem chi tiết
The God Evil
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết