Question

cho \(a,b,c\in R\) thỏa mãn:\(a^2+2b^2=3c^2\)

\(CMR:\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\ge\frac{3}{c}\)

Answer 1

Bài này ngược dấu hay sao ý:

Ta dự đoán dấu "=" xảy ra tại a = b = c =1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: \(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}\) (1)

Ta có: \(a^2+1\ge2a;2b^2+2\ge4b\Rightarrow a^2+2b^2+3=3c^2+3\ge2\left(a+2b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3c^2+3}{2}\ge a+2b\).Suy ra:\(\frac{9}{a+2b}\ge\frac{18}{3c^2+3}=\frac{6}{c^2+1}\) (2)

Ta sẽ c/m: \(\frac{6}{c^2+1}\ge\frac{3}{c}\).Ta có: \(VT=\frac{6}{c^2+1}=6\left(1-\frac{c^2}{c^2+1}\right)=6-\frac{6c^2}{c^2+1}\ge6-\frac{6c^2}{2c}=6-3c\) (3)

Ta sẽ c/m: \(6-3c\ge\frac{3}{c}\Leftrightarrow3c+\frac{3}{c}\le6\).Mặt khác,theo AM-GM

\(3c+\frac{3}{c}\ge2.\sqrt{3c.\frac{3}{c}}=2.3=6\Rightarrow\) mâu thuẫn?

Answer 2

a,b,c nó đã dương đâu sao bn dùng đc cô si vậy

Answer 3

nó thuộc số thực mà

Answer 4

tớ thấy hình như đề bài có vấn đề r  link bài này này nhưng hơi khác đề bài của bn:https://diendan.hocmai.vn/threads/chung-minh-1-a-2-b-3-c-giup-minh-voi.212811/

Answer 5

@cao van duc: khi dùng cô si với \(3c;\frac{3}{c}\) thì nó sẽ mất c (với mọi c khác 0) dù c âm hay dương? vậy dùng đc chứ sao không?

Còn cái trên cùng thì dựa vào t/c bình phương của 1 số luôn ko âm?

Answer 6

Nên nhớ đk: a,b,c khác 0 nhé!Nếu không thì vô nghĩ thì phiền

Answer 7

vô nghĩa :v viết nhầm

Answer 8

nếu c âm => 3c+3/c <0 mà vế kia >0 vô lý ko

Answer 9

Ukm,thấy r.Mà Huy nói mình dùng dấu suy ra sai chỗ nào nhỉ?

Answer 10

mình nghĩ nên thêm đk a,b,c>0 thì đúng hơn nhỉ?

Answer 11

Thêm điều kiện a, b, c > 0. Cách giải của tui như sau:

\(VT=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\ge\frac{9}{a+2b}=\frac{9}{\sqrt{\left(1.a+1.b+1.b\right)^2}}\)

\(\ge\frac{9}{\sqrt{3\left(a^2+2b^2\right)}}=\frac{9}{\sqrt{9c^2}}=\frac{3}{c}\)