Có: \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)
\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b+c+d}{9a}}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)
\(=\frac{2}{3}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)
Tương tự ba BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}\right)=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}\left(\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+c}{c}+\frac{a+b+c}{d}\right)\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{32}{9}\sqrt[4]{\frac{\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)\left(d+a+c\right)\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)
\(\ge\frac{8}{3}+\frac{32}{9}\sqrt[4]{\frac{3^4.abcd}{abcd}}=\frac{40}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = d
P/s: Tính sai chỗ nào tự sửa nhá, dạo này hay nhầm lắm!
