Đề hình như bị sai rồi, tui nghĩ vậy nè:
Cho: \(a+b+c=3\) Chứng minh: \(a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
~~~~~~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~~~~~~~
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(a^4+a^4+a^4+1\ge4.\sqrt[4]{a^4.a^4.a^4.1}=4a^3\)
\(\Leftrightarrow3a^4+1\ge4a^3\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(3b^4+1\ge4b^3\)
\(3c^4+1\ge4c^3\)
\(\Rightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge3a^3+3b^3+3c^3+\left(a^3+b^3+c^3-3\right)\)
\(\Rightarrow3a^4+3b^4+3c^4\ge3\left(a^3+b^3+c^3\right)\)\(\left(Vì:a^3+b^3+c^3\ge3\right)\forall a+b+c=3\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge a^3+b^3+c^3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số không âm:
$a^4+1+1+1\geq 4\sqrt[4]{a^4}=4|a|\geq 4a$
$b^4+1+1+1\geq 4b$
$c^4+1+1+1\geq 4c$
Cộng theo vế và thu gọn:
$a^4+b^4+c^4+9\geq 4(a+b+c)=12$
$\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
Băng Băng 2k6 Không sai nha!
Cách 1:
\(VT=a^4+b^4+c^4\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right]^2}{3}=3\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Cách 2:
Giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\)\(a^4+b^4+c^4-3=\frac{1}{27}\left[\frac{27}{4}\left(b^2-c^2\right)^2+\frac{13}{8}\left(b+c-2a\right)^4+6\left(b+c\right)\left(2a-b-c\right)^3+\frac{27}{8}\left\{4\left(b^2+bc+c^2\right)\left(b-c\right)^2+3\left(b^2-c^2\right)^2\right\}\right]\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)
P/s :Ai check giúp em cách 2 nha!
