Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Lê Hoàng Bảo Long

1 . Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn \(ab+bc+ca\ge3\)

Chứng minh : \(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{3}{4}\)

Hoàng Thị Ánh Phương
17 tháng 3 2020 lúc 8:53

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :

\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có : \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow a+b+c\ge3\) ( tự chứng minh ạ )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Áp dụng BĐT Cachy Schwarz ta có :

\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\) \(\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b+c\right)}{3}\right]^2}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^3}{36}\)

\(\ge\frac{27}{36}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\) ( bạn tự giải rõ ạ )

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
tthnew
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Tranh Diệp Phi
Xem chi tiết
Lê Trường Lân
Xem chi tiết
Y
Xem chi tiết
Achana
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Trần Bảo Hân
Xem chi tiết
asssssssaasawdd
Xem chi tiết