Question

Cho a,b,c>0 và \(M=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}\). CM: M không nhận giá trị nguyên

Answer 1

Mẫu số không đối xứng kìa. Sửa lại đề, chắc ý bạn là

\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Ta có:

\(M=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\) \((1)\)

Tương tự cách như vậy, ta cũng chỉ ra được \(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}>1\)

Do đó :

\(M=\left (1-\frac{b}{b+a}\right)+\left (1-\frac{c}{b+c}\right)+\left (1-\frac{a}{a+c}\right)\)

\(=3-\left (\frac{b}{b+a}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{a+c}\right)<3-1=2\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow 1< M< 2\Rightarrow M\not\in \mathbb{N}\)