Question

Cho a,b,c>0 và a+b+c=3. Chứng minh \(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge\frac{3}{2}\)

Answer 1

Vì a, b, c > 0

Ta có  \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{3^2}{3}=3\)

 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel

\(VT=\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{3+\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\frac{1}{1+ab}=\frac{1}{1+bc}=\frac{1}{1+ca}\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(a=b=c\)