Ta có : abc = 1
<=> a = \(\frac{1}{bc}\)
\(b=\frac{1}{ac}\)
\(c=\frac{1}{ab}\)
Ta có : \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(\frac{1}{bc}+abc\right)\left(\frac{1}{ac}+abc\right)\left(\frac{1}{ab}+abc\right)\)
Áp dụng bđt cô si ta có :
\(\frac{1}{bc}+abc\ge2\sqrt{\frac{abc}{bc}}=2\sqrt{a}\)
\(\frac{1}{ac}+abc\ge2\sqrt{b}\)
\(\frac{1}{ab}+abc\ge2\sqrt{c}\)
Nên : \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(\frac{1}{bc}+abc\right)\left(\frac{1}{ac}+abc\right)\left(\frac{1}{ab}+abc\right)\)\(\ge2\sqrt{a}.2\sqrt{b}.2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8.1=8\)
Vây Pmin = 8 khi a = b = c = 1
Hai ô tô cùng khởi hành 1 lúc đi từ
A đến B dài 240km, vì mỗi giờ
ô tô thứ 1 đi nhanh hơn ô tô thứ 2 là 12km nên nó đến trước ô tô thứ 2 là 1h40'. Tí
nh vận tốc của mỗi ô tô?
áp dụng bđt cosi ta có :
\(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)>=2\sqrt{a\cdot1}\cdot2\sqrt{b\cdot1}\cdot2\sqrt{c\cdot1}\)
\(=2\sqrt{a}\cdot2\sqrt{b}\cdot2\sqrt{c}=8\sqrt{abc}=8\cdot1=8\)
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
vậy min P là 8 khi a=b=c=1
Cách khác :
Ta có : (a - 1)2 \(\ge0\Leftrightarrow a^2-2a+1\ge0\Leftrightarrow a^2+2a+1\ge4a\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2\ge4a\)
Tương tự có : \(\left(b+1\right)^2\ge4b\)
\(\left(c+1\right)^2\ge4c\)
Nên : P2 = \(\left(a+1\right)^2\left(b+1\right)^2\left(c+1\right)^2\ge4a.4b.4c=64abc=64\left(\text{Vì abc = 1}\right)\)
Suy ra : \(P=\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\ge\sqrt{64}=8\)
Vậy \(P_{min}=8\) khi a = b = c = 1
