Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+1\ge2b\) \(\Rightarrow\frac{1}{a^2+2b+3}\le\frac{1}{2\left(ab+b+1\right)}\)
Tương tự với hai BĐT còn lại và cộng theo vế ta được:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{ab+b+1}+\frac{1}{bc+c+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\frac{ac}{\left(ca+a+1\right)}+\frac{a}{ca+a+1}+\frac{1}{ca+a+1}\right)=\frac{1}{2}\left(Q.E.D\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1