bạn ghi lại đề đi bạn mình thấy sai sai
Sửa mẫu của pthức thứ 3 ở VT là 2a+3b
Sửa đề ; Cho \(a;b;c\ge0\). Chứng minh:
\(\frac{a^2}{2b+3c}+\frac{b^2}{2c+3a}+\frac{c^2}{2a+3b}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Ta chứng minh BĐT phụ:
\(\frac{m^2}{x}+\frac{n^2}{y}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\)với \(\forall x;y>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{m^2y+n^2x}{xy}-\frac{\left(m+n\right)^2}{x+y}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{m^2xy+m^2y^2+n^2x^2+n^2xy-m^2xy-2mnxy-n^2xy}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{m^2y^2-2mynx+n^2x^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(my-nx\right)^2}{xy\left(x+y\right)}\ge0\)Đúng với \(\forall x;y>0\)
Áp dụng BĐT vừa chứng minh, ta có:
\(\frac{a^2}{2b+3c}+\frac{b^2}{2c+3a}+\frac{c^2}{2a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2b+3c+2c+3a+2a+3b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{2b+3c}+\frac{b^2}{2c+3a}+\frac{c^2}{2a+3b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{5\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{5}=\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
Vậy \(\frac{a^2}{2b+3c}+\frac{b^2}{2c+3a}+\frac{c^2}{2a+3b}\ge\frac{1}{5}\left(a+b+c\right)\)
