Question

Cho ∆ABC vuông tại A . Đường cao AH . Gọi E,F theo thứ tự là các điểm đối xứng với H qua AB, AC. CMR A là trung điểm của đoạn EF

Answer 1

Ta có E đối xứng với H qua AB

nên AB là trung trực của EH

=> AE = AH (1)

Ta có F đối xứng với H qua AC

=> AC là trung trực của FH

=> AF= AH (2)

Từ (1) và (2) => AE = AF (3)

Ta lại có tam giác AEH cân tại A mà AB là trung trực của EH

=> \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

Ta lại có tam giác AFH cân tại A mà AC là trung trực của FH

=> \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\)

=> \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=2\widehat{A_2}+2\widehat{A_3}=2\left(\widehat{A_2}+\widehat{A_3}\right)=2.90=180\)độ

=> 3 điểm E, A,F thẳng hàng (4)

Từ (3) và (4) => A là trung điểm của EF

Answer 2

ta có E đối xứng vs H qua AB
nên EH vuông góc vs AB tại I và IE = IH
ΔAEH có đường cao AI đồng thời là đường trung tuyến nên cũng là đường phân giác , ta có \(\widehat{EAB}=\widehat{HAB}\)
F đối xứng vs H qua AC, ta có: \(\widehat{HAC}=\widehat{FAC}\)
mà \(\widehat{HAB}+\widehat{HAC}=\widehat{BAC}=\) 90^o
=> \(\widehat{EAB}+\widehat{HAB}+\widehat{HAC}+\widehat{FAC}\) = 180^o
=> 3 điểm E,A,F thẳng hàng           (1)
Xét ΔAEH cân tại A
=> AE = AH ; AF = AH

=> AE = AF                        (2)
Từ (1) và (2) =>A là trung điểm của EF