Question

Cho ∆ ABC vuông tại A , Đường cao AD , F là điểm đối xứng của D qua A , E là hình chiếu của C trên BF , CE cắt A D tại I . Chứng Minh rằng:

 

a. AB².DC = AC².BD 

 

b. ∆CAI đồng dạng với ∆CEA 

 

c. I là trung điểm của AD

Answer 1

Lời giải:
a. Áp dụng HTL trong tam giác vuông:

$AB^2=BD.BC$

$AC^2=CD.CB$
$\Rightarrow \frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BD}{CD}$

$\Rightarrow AB^2.CD=AC^2.BD$ (đpcm)

b.

Tứ giác $BEAC$ có $\widehat{BEC}=\widehat{BAC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BEAC$ là tứ giác nội tiếp 

$\Rightarrow \widehat{AEC}=\widehat{ABC}=\widehat{IAC}$

Xét tam giác $CAI$ và $CEA$

$\widehat{C}$ chung

$\widehat{AEC}=\widehat{IAC}$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle CAI\sim \triangle CEA$ (g.g)

c.

$\widehat{F_1}=90^0-\widehat{EIF}=90^0-\widehat{DIC}=\widehat{C_1}$

$\Rightarrow \triangle BFD\sim \triangle ICD$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BD}{ID}=\frac{FD}{CD}$

$\Rightarrow BD.CD=ID.FD$

Mà $BD.CD=AD^2$ (HTL trong tam giác vuông)

$\Rightarrow AD^2=ID.FD$

$\Rightarrow \frac{ID}{AD}=\frac{AD}{FD}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $AD$

 

Answer 2

Hình vẽ: