Question

Cho ∆ABC vuông tại A, AB < AC, AH là đường cao.
a) Chứng minh ∆HAC và ∆ABC đồng dạng
b) Chứng minh HA2 = HB. HC
c) Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh CH. CB = 4 DE?
d) Gọi M là giao điểm của đường thẳng vuông góc với BC tại B và đường thẳng DE. Gọi
N là giao điểm của AH và CM. Chứng minh N là trung điểm của AH.

Answer 1

a, Xét Δ HAC và Δ ABC, có :

\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\widehat{HCA}=\widehat{ACB}\) (góc chung)

=> Δ HAC ∾ Δ ABC (g.g)

=> \(\dfrac{HA}{AB}=\dfrac{HC}{AC}\)

=> \(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\)

b, Xét Δ AHB và Δ CHA, có :

\(\dfrac{HA}{HC}=\dfrac{AB}{AC}\) (cmt)

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^o\)

=> Δ AHB ∾ Δ CHA (g.g)

=> \(\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\)

=> \(AH^2=HB.CH\)