đầu tiên ta chứng minh \(n^3+n\)chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
ta có : \(n^3+n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
áp dụng ta sẽ có
chiều thuận : \(a^3+b^3+c^3\)chia hết cho 6
áp dụng điều trên ta có \(a^3+b^3+c^3+a+b+c=\left(a^3+a\right)+\left(b^3+b\right)+\left(c^3+c\right)\) cũng chia hết cho 6
nên \(a+b+c\) chia hết cho 6.
chiều đảo: \(a+b+c\)chia hết cho 6
áp dụng điều trên ta có \(a^3+b^3+c^3+a+b+c=\left(a^3+a\right)+\left(b^3+b\right)+\left(c^3+c\right)\) cũng chia hết cho 6
nên \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6.
vậy ta có đpcm
