Long Beo

Cho a,b,c thực dương .CMR

\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^3}{bc\left(4b+4c+a\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{ca\left(4c+4c+b\right)}}\ge2\sqrt{2}\)

_@Lyđz_
1 tháng 12 2019 lúc 16:15

ĐÂY MÀ LÀ toán 5 ạ??

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Kiệt Nguyễn
1 tháng 12 2019 lúc 16:19

Gọi A là vế trái của BĐT cần chứng minh. Không mất tính tổng quát, ta giả sử a + b + c = 3. Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

\(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8bc\left(4a+4b+c\right)}}+\frac{ab\left(4a+4b+c\right)}{27}\)\(\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)\)

Suy ra 

             \(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{8ab\left(4a+4b+c\right)}}\)\(+\frac{ab\left(4a+4b+c\right)}{54}\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)\)

Tương tự

            \(\sqrt{\frac{\left(b+c\right)^3}{8bc\left(4b+4c+a\right)}}+\frac{bc\left(4b+4c+a\right)}{54}\ge\frac{1}{4}\left(b+c\right)\)

và       \(\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{8ca\left(4c+4a+b\right)}}+\frac{ca\left(4c+4a+b\right)}{54}\ge\frac{1}{4}\left(c+a\right)\)

Cộng ba BĐT trên ta có: 

           \(\frac{1}{2\sqrt{2}}A\ge B\)

Với \(A=\frac{1}{54}[ab\left(4a+4b+c\right)+bc\left(4b+4c+a\right)\)

\(+ca\left(4c+4a+b\right)]\)

\(=\frac{1}{54}\left[4ab\left(a+b\right)+4bc\left(b+c\right)+4ca\left(c+a\right)+3abc\right]\)

\(=\frac{1}{54}\left[4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-9abc\right]\)

\(\le\frac{1}{54}\left(a+b+c\right)^3=\frac{1}{2}\)

và \(B=\frac{1}{4}.2\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Suy ra \(\frac{1}{2\sqrt{2}}A\ge\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\Rightarrow A\ge2\sqrt{2}\)

Vậy 

              \(\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{ab\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(a+b\right)^3}{bc\left(4a+4b+c\right)}}+\sqrt{\frac{\left(c+a\right)^3}{ca\left(4c+4a+b\right)}}\ge2\sqrt{2}\)(đpcm)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
nguyenkhanhan
1 tháng 12 2019 lúc 21:09

toán lớp 5 phiên bản hack não

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
ai am so ry
2 tháng 12 2019 lúc 21:44

๖²⁴ʱČøøℓ ɮøү ²к⁷༉ bn có thể chứng minh cái giả sử đó được không ạ ???? Nếu bạn không biết thì đó gọi là copy.

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Wrecking
Xem chi tiết
Chung
Xem chi tiết
Kiệt Nguyễn
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
Xem chi tiết