Question

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Đường tròn này cắt AB tại E, cắt AC tại D. BD cắt CE tại H.

a) Cm BD và CE là 2 đường cao của ∆ABC. Suy ra AH vuông góc BC tại F.

b) Cm ∆ADE ∽ ∆ABC. Từ đó suy ra AD × AC = AE × AB.

c) Cm FH là phân giác góc FDE.

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE\(\perp\)AB tại E

Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>BD\(\perp\)AC tại D

Xét ΔABC có

CE,BD là các đường cao

CE cắt BD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔBAC

=>AH\(\perp\)BC tại F

b: Xét ΔAED và ΔACB có

\(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\left(=180^0-\widehat{BED}\right)\)

\(\widehat{EAD}\) chung

Do đó: ΔAED~ΔACB

=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AD}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AD\cdot AC\)

c: Xét tứ giác BEHF có \(\widehat{BEH}+\widehat{BFH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BEHF là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CFHD có \(\widehat{CFH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CFHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{EFH}=\widehat{EBH}\)(BEHF nội tiếp)

\(\widehat{DFH}=\widehat{DCH}\)(CFHD nội tiếp)

mà \(\widehat{EBH}=\widehat{DCH}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)

nên \(\widehat{EFH}=\widehat{DFH}\)

=>FH là phân giác của góc EFD