Question

Cho ∆ABC nhọn (AB < AC), kẻ hai đường cao BD và CE cắt nhau tại F. a) Chứng minh: tam giác ABD đồng dạng tam giác ACE. b) Chứng minh: EF.DC=EB.FD c) Gọi G, I lần lượt là trung điểm BC và AF. Đường thẳng qua C và vuông góc AC, cắt đường thẳng qua B và vuông góc AB tại H. Chứng minh AH = 2IG và góc EIA= góc EGC

Answer 1

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

\(\hat{DAB}\) chung

Do đó: ΔADB~ΔAEC

b: Xét ΔFEB vuông tại E và ΔFDC vuông tại D có

\(\hat{EFB}=\hat{DFC}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔFEB~ΔFDC

=>\(\frac{EF}{DF}=\frac{EB}{DC}\)

=>\(EF\cdot DC=EB\cdot DF\)

c: Ta có: BH⊥BA

CF⊥AB

Do đó: BH//CF

Ta có: BF⊥CA

CH⊥CA

Do đó: BF//CH

Xét tứ giác BFCH có

BF//CH

BH//CF

Do đó: BFCH là hình bình hành

=>BC cắt FH tại trung điểm của mỗi đường

mà G là trung điểm của BC

nên G là trung điểm của FH

Xét ΔAFH có

G,I lần lượt là trung điểm của FH,FA

=>GI là đường trung bình của ΔAFH

=>GI//AH và \(GI=\frac12AH\)

=>AH=2GI

ΔEBC vuông tại E

mà EG là đường trung tuyến

nên GE=GB=GC

Xét ΔGEB có \(\hat{EGC}\) là góc ngoài tại đỉnh G

nên \(\hat{EGC}=\hat{GEB}+\hat{GBE}=2\cdot\hat{GBE}=2\cdot\hat{ABC}\) (1)

ΔAFE vuông tại E

mà EI là đường trung tuyến

nên IE=IF=IA

Xét ΔEIF có \(\hat{EIA}\) là góc ngoài tại đỉnh I

nên \(\hat{EIA}=\hat{IEF}+\hat{IFE}=2\cdot\hat{IFE}\) (2)

Xét ΔABC có

BD,CE là các đường cao

BD cắt CE tại F

Do đó: F là trực tâm của ΔABC

=>AF⊥BC

=>\(\hat{FAB}+\hat{ABC}=90^0\)

mà \(\hat{FAB}+\hat{AFE}=90^0\)

nên \(\hat{ABC}=\hat{AFE}\) (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\hat{EIA}=\hat{EGC}\)