Question

cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác. Chứng minh rằng \(\frac{\text{a}}{\text{2b+2c-a}}+\frac{b}{\text{2a+2c-b}}+\frac{\text{c}}{\text{2a+2b-c}}\ge1\)

Answer 1

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=2b+2c-a\\y=2c+2a-b\\z=2a+2b-c\end{cases}}\)

Vì a,b,c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên \(x,y,z>0\)

Khi đó :

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{2y+2z-x}{9}\\b=\frac{2z+2x-y}{9}\\c=\frac{2x+2y-z}{9}\end{cases}}\)

Ta có bất đẳng thức mới theo ẩn x,y,z : 

\(\frac{2y+2z-x}{9x}+\frac{2z+2x-y}{9y}+\frac{2x+2y-z}{9z}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{y}+\frac{x}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\frac{2}{9}\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)-\frac{1}{3}\ge1\)

Ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau : 

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\forall a,b>0\)

Thật vậy : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(luôn đúng \(\forall a,b>0\))

Áp dụng , ta được :

\(\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2+\frac{2}{9}.2-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{12}{9}-\frac{1}{3}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{9}\ge1\)(đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh