Question

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác .CMR

a^2+b^2+ c^2<2(ab+bc+ca)

Giúp với mình đang cần gấp ạ

Answer 1

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

Áp dụng BĐT tam giác ta được:

\(a< b+c\)

\(\Rightarrow a^2< a\left(b+c\right)\left(1\right)\)

\(b< a+c\)

\(\Rightarrow b^2< b\left(a+c\right)\left(2\right)\)

\(c< a+b\)

\(\Rightarrow c^2< c\left(a+b\right)\left(3\right)\)

Cộng (1),(2) và (3),vế theo vế ta được:

\(a^2+b^2+c^2< a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right)\)