Question

Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn 1 ; 2 thỏa mãn log 2 3 a + log 2 3 b + log 2 3 c ≤ 1 . Khi biểu thức P = a 3 + b 3 + c 3 − 3 log 2 a a + log 2 b b + log 2 c c  đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a + b + c là:

A. 3

B.  3.2 1 3 3

C. 4

D. 6

Answer 1

Đáp án C.

Đặt log 2 a = x log 2 b = y log 2 c = z ⇒ a = 2 x b = 2 y c = 2 z ⇒ P = 2 x 3 + 2 y 3 + 2 z 3 − 3 x .2 x + y .2 y + z .2 z ,

trong đó x 3 + y 3 + z 3 ≤ 1   và x , y , z ∈ 0 ; 1 .  

Dễ chứng minh được 2 x ≤ x + 1 ,    ∀ x ∈ 0 ; 1 . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = 0 ∨ x = 1 .

Suy ra

2 x − x 3 ≤ 1 ⇔ 2 x 3 ≤ 3. 2 x 2 . x − 3.2 x . x 2 + x 3 + 1 ⇒ 2 x 3 − 3 x .2 x ≤ 3 x .2 x 2 x − x − 1 + x 3 + 1 ≤ x 3 + 1 Từ đó suy ra P ≤ x 3 + 1 + y 3 + 1 + z 3 + 1 ≤ 4 .

Dấu bằng xảy ra khi trong ba số x , y , z  có 1 số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. Do đó chọn C.