Với dự đoán P đạt Min tại \(a=b=c=\frac{5}{3}\Rightarrow P=\frac{9}{20}\). Nên ta chứng minh \(P\ge\frac{9}{20}\).Thật vậy:\(P=\Sigma\frac{a}{ab+5c}=\Sigma\frac{a}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}=\frac{a\left(a+b\right)+b\left(b+c\right)+c\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\left[\frac{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)}{3}\right]^3}=\frac{9}{20}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{3}\)
Vậy..
