Question

Cho a;b;c là các số nguyên dương thỏa mãn : \(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\). Chứng minh c là số chính phương

 

Answer 1

Ta có : \(c\left(ac+1\right)^2=\left(2c+b\right)\left(3c+b\right)\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1\right)=6c^2+5bc+b^2\)

\(\Leftrightarrow c\left(a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=b^2\)

Gọi \(\left(c;a^2c^2+2ac+1-6c-5b\right)=d\)

Khi đó ta có \(\hept{\begin{cases}c⋮d\\a^2c^2+2ac-6c+1-5b⋮d\end{cases}\Rightarrow1-5b⋮d}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}c=xd\\a^2c^2+2ac-6c+1-5b=yd\end{cases}}\left[x,y\in Z;\left(x;y\right)=1\right]\)

\(\Rightarrow c\left(a^2c^2+2a-6c+1-5b\right)=xyd^2\Rightarrow b^2=xyd^2\)

\(\Rightarrow b⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy c là số chính phương.