Question

cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c\(\ge12\)

tìm GTNN của \(P=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{c}}+\frac{c}{\sqrt{a}}\)

giúp mk nhé bài này cô giáo mk bảo dùng hoán vị vòng quanh

Answer 1

Ta có: \(P^2=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+\frac{2a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+\frac{2b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{2c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\). Áp dụng BĐT Cauchy cho 4 số dương ta có:

\(\frac{a^2}{b}+\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+\frac{a\sqrt{b}}{\sqrt{c}}+c\ge4a;\frac{b^2}{c}+\frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+\frac{b\sqrt{c}}{\sqrt{a}}+a\ge4b;\frac{c^2}{a}+\frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\frac{c\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+b\ge4c\)

\(\Rightarrow P^2\ge3\left(a+b+c\right)\ge3.12=36\Rightarrow P\ge6\)

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c = 4