Em có cách giải khác nhưng không chắc lắm!
Nếu \(c\ge\frac{13}{3}\) thì: \(60=5a^2+2abc+4b^2+3c^2\ge5a^2+\frac{26}{3}ab+4b^2+3c^2\)
\(=\frac{1}{45}\left(15a+13b\right)^2+\frac{11b^2}{45}+3c^2\)
\(>\frac{\left(15a+13b\right)^2}{45}+3c^2=\frac{\left(15a+13b\right)^2+135c^2}{45}\)
\(>\frac{\left(13a+13b\right)^2+\left(11c\right)^2}{45}\ge\frac{\left(13a+13b+11c\right)^2}{45}>\frac{121\left(a+b+c\right)^2}{45}\)
\(\Rightarrow A=a+b+c< \sqrt{\frac{60.45}{121}}< 4,8< 6\)
Nếu \(0< c< \frac{13}{3}\):
\(22\left(6-A\right)=22\left[6-\left(a+b+c\right)\right]\)
\(=\frac{1}{5}\left[\left(5a+bc-11\right)^2+\frac{5\left(c-3\right)^2\left(c+3\right)\left(13-3c\right)}{20-c^2}+\frac{(bc^2 - 20b - 11c + 55)^2}{20-c^2}\right]\ge0\)
(chú ý phân tích chỗ này chỉ đúng với a, b, c thỏa mãn giả thiết)
Do đó \(A\le6\). Tóm lại, trong mọi trường hợp của c, A luôn \(\le6\).
Vậy Max A = 6 khi \(a=1;b=2;c=3\)
Trong đề thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa bài này có đáp án rồi.
Từ phương trình :\(5a^2+2abc+4b^2+3c^2=60\)(1) và a, b , c là các số dương
=> \(4b^2< 60;3c^2< 60\)
=> \(\left(15-b^2\right)>0;\left(20-c^2\right)>0\)
(1) <=> \(5a^2+2bc.a+4b^2+3c^2-60=0\)
Xem đẳng thức trên phương trình bậc 2 có tham số là b và c ẩn là a.
Khi đó: \(\Delta'=\left(bc\right)^2-5\left(4b^2+3c^2-60\right)\)
\(=\left[\left(bc\right)^2-20b^2\right]-\left(15c^2-300\right)\)
\(=b^2\left(c^2-20\right)-15\left(c^2-20\right)=\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)>0\)( theo trên )
=> phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:
\(a=\frac{-bc\pm\sqrt{\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)}}{5}\)
Xét nghiệm \(a=\frac{-bc+\sqrt{\left(b^2-15\right)\left(c^2-20\right)}}{5}\)
\(\le\frac{-bc+\frac{1}{2}\left(15-b^2+20-c^2\right)}{5}=\frac{-\left(b+c\right)^2+35}{10}\)
=> \(a+b+c=\frac{-\left(b+c\right)^2+10\left(b+c\right)+35}{10}\)
\(=\frac{-\left(b+c-5\right)+60}{10}\le\frac{60}{10}=6\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}b+c-5=0\\b^2-15=c^2-20\\a+b+c=6\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\\c=3\end{cases}}\) thử lại thỏa mãn ( 1)
Vậy: min A = 6 tại a = 1; b = 2; c = 3
