Ta có : (a + b + c) \(⋮\)2
=> \(\left(a+b+c\right)^2⋮2\)
=> \(\left(a+b+c\right)\left(a+b+c\right)⋮2\)
=> \(\left(a+b+c\right).a+\left(a+b+c\right).b+\left(a+b+c\right).c\)
=> \(a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\)
=> \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)⋮2\)
Vì \(2\left(ab+bc+ca\right)⋮2\)
=> \(a^2+b^2+c^2⋮2\left(\text{đpcm}\right)\)
Bài làm:
Ta có: Vì a+b+c chia hết cho 2
=> a+b+c chẵn
Nên ta xét các TH sau:
+Nếu: Cả 3 số a,b,c đều chẵn
=> a2,b2,c2 đều chẵn
=> a2+b2+c2 chia hết cho 2
+Nếu: Chỉ có 1 số trong 3 số a,b,c chẵn
G/s a là số chẵn, b và c là 2 số lẻ
=> a2 chẵn và b2,c2 lẻ
=> a2+b2+c2 chẵn
=> đpcm
Cách khác:
Xét tổng:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(a+b+c\right)=\left(a^2+a\right)+\left(b^2+b\right)+\left(c^2+c\right)\)
\(=a\left(a+1\right)+b\left(b+1\right)+c\left(c+1\right)⋮2\)
Vì a ; a + 1 ;là 2 số tự nhiên liên tiếp nên a ( a + 1 ) chia hết cho 2 tương tự b(b+1) và c(c+1) chia hết cho 2
Mà a + b + c \(⋮\) 2
=> \(a^2+b^2+c^2⋮\)
