Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Phạm Thị Hằng

cho a,b,c là 3 cạnh 1 tam giác.c/m a\(^3\)+b\(^3\)+3abc\(\ge\)c\(^3\)

Nguyễn Việt Lâm
24 tháng 9 2019 lúc 22:01

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)-3ab\left(a+b\right)+3abc-c^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ac+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ac+bc\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}+c^2+ac+bc\right]\ge0\) (1)

Do a; b; c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên \(a+b>c\Rightarrow a+b-c>0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\) luôn đúng

Nhưng dấu "=" ko xảy ra nên BĐT đã cho bị sai :(

Trần Thanh Phương
24 tháng 9 2019 lúc 22:04

\(a^3+b^3+3abc\ge c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3abc-c^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+3a^2b+3ab^2+3abc-3a^2b-3ab^2-c^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3-c^3-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+2ab+ca+bc\right)-3ab\left(a+b-c\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab+ca+bc\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-c\right)\cdot\frac{1}{2}\cdot\left[\left(a-b\right)^2+\left(a+c\right)^2+\left(b+c\right)^2\right]\ge0\)

( luôn đúng với \(a;b;c\) là 3 cạnh tam giác )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a+b=c\\\left\{{}\begin{matrix}a=b\\a=-c;b=-c\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(a;b;c>0\Leftrightarrow a+b=c\)


Các câu hỏi tương tự
Akira Yuuki
Xem chi tiết
nam do
Xem chi tiết
tuấn nguyễn
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
oOo Milana oOo
Xem chi tiết
Dung Phạm
Xem chi tiết
Phạm Minh Quang
Xem chi tiết
Dat
Xem chi tiết
Phạm
Xem chi tiết