Question

Bài 1:Cho các số dương x, y , z thỏa mãn : x\(^2\)+y\(^2\)+z\(^2\)≥1. CMR: \(\dfrac{x^3}{y}\)+\(\dfrac{y^3}{z}\)+\(\dfrac{z^3}{x}\)≥1

Bài 2: Cho xyz=1 va5 x+y+z = 3 . Tìm min của B= x\(^{16}\)+\(y^{16}\)+\(z^{16}\)

Bài 3: a,Cho ba số dương a , b ,c sao cho a+b+c =3 . cm

\(\dfrac{a}{b^3+ab}+\dfrac{b}{c^3+bc}+\dfrac{c}{a^3+bc}\) ≥ \(\dfrac{3}{2}\)

b, Cho ba số thực a, b , c không âm sao cho a+b+c=1

cm: b+c ≥ 16abc. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 4: Gọi a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Đặt p = \(\dfrac{a+b+c}{2}\). Chứng minh rằng nếu \(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}=\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\) thì tam giác đó là tam giác đều

Answer 1

1) Đặt T là vế trái của BĐT

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:

\(T=\dfrac{x^4}{xy}+\dfrac{y^4}{yz}+\dfrac{z^4}{xz}\ge\dfrac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+xz}\ge\dfrac{1}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Vậy ta có đpcm.Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Answer 2

3)b) Đặt T là vế trái, áp dụng AM-GM ta có:

\(b+c=\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)^2\ge\left(b+c\right)4a\left(b+c\right)=4a\left(b+c\right)^2\ge16abc\)

Answer 3

4) Đặt T là vế trái của đẳng thức.Do a,b,c dương nên áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có:

\(\dfrac{1}{p-a}+\dfrac{1}{p-b}\ge\dfrac{4}{2p-\left(a+b\right)}=\dfrac{4}{c}\)

Tương tự:

\(\dfrac{1}{p-b}+\dfrac{1}{p-c}\ge\dfrac{4}{a}\)

\(\dfrac{1}{p-c}+\dfrac{1}{p-a}\ge\dfrac{4}{b}\)

Cộng vế theo vế rồi rút gọn ta được:

\(T\ge\dfrac{2}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{2}{c}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c. Hay VT=VP khi tam giác ABC đều(đpcm)