\(a+b=c+d\Leftrightarrow a=c+d-b\Leftrightarrow a^2=b^2+c^2+d^2-2bc+2cd-2bd\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2+2cd+d^2\right)+\left(d^2-2bd+b^2\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+d^2=\left(b-c\right)^2+\left(c+d\right)^2+\left(b-d\right)^2\)Vì a,b,c thuộc tập số nghuyên nên ta có điều phải chứng minh.
$$
\begin{aligned}
A &= 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + (bc)^2 \\
&= 4 \times \bigl[a(a + b + c)\bigr] \times \bigl[(a + b)(a + c)\bigr] + (bc)^2 \\
&= 4(a^2 + ab + ac)(a^2 + ab + ac + bc) + (bc)^2 \\
&= 4(a^2 + ab + ac)^2 + 4bc(a^2 + ab + ac) + (bc)^2 \\
&= \bigl[ 2(a^2 + ab + ac) + bc \bigr]^2 \quad \text{(đpcm)}
\end{aligned}
$$
