Question

Cho \(a,b,c\) dương có tích bằng 1.

Chứng minh bất đẳng thức: \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\).

Answer 1

Ta chứng minh bổ đề

a³ + b³ \(\ge\)ab(a + b)

<=> (a + b)(a² - 2ab + b​²) \(\ge\)0

<=> (a + b)(a - b)² \(\ge0\)(đúng)

Áp dụng vào bài toán ta có

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\)

\(=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)(1)

Tương tự

\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\)(2)

\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)(3)

Cộng (1),(2),(3) vế theo vế ta được

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

\(\le\frac{1}{a+b+c}.\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)\)

\(=\frac{1}{a+b+c}.\frac{a+b+c}{abc}=1\)