ΔABC cân tại A
=>\(\hat{ABC}=\hat{ACB}\)
=>\(\hat{ACB}=36^0\)
ΔABC cân tại A
=>\(\hat{BAC}=180^0-2\cdot\hat{ABC}=180^0-2\cdot36^0=108^0\)
I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC
=>AI là phân giác của góc BAC, BI là phân giác của góc ABC, CI là phân giác của góc ACB
Ta có: AI là phân giác của góc BAC
=>\(\hat{BAI}=\hat{CAI}=\frac12\cdot\hat{BAC}=54^0\)
BI là phân giác của góc ABC
=>\(\hat{ABI}=\hat{CBI}=\frac12\cdot\hat{ABC}=\frac12\cdot36^0=18^0\)
CI là phân giác của góc ACB
=>\(\hat{ACI}=\hat{BCI}=\frac12\cdot\hat{ACB}=\frac{36^0}{2}=18^0\)
Xét ΔIBC có \(\hat{IBC}=\hat{ICB}\left(=18^0\right)\)
nên ΔIBC cân tại I
=>IB=IC
=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)
O là giao điểm của ba đường trung trực của ΔABC
=>OA=OB=OC
OB=OC nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)
AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(3)
Từ (1),(2),(3) suy ra A,I,O thẳng hàng
=>AO là đường trung trực của BC
=>AO⊥BC
Xét ΔOAB có OA=OB
nên ΔOAB cân tại O
=>\(\hat{OAB}=\hat{OBA}=54^0\)
Ta có: \(\hat{OBC}+\hat{CBA}=\hat{OBA}\)
=>\(\hat{OBC}=\hat{OBA}-\hat{CBA}=54^0-36^0=18^0\)
Ta có: \(\hat{OBC}=\hat{IBC}\left(=18^0\right)\)
=>BC là phân giác của góc BOI
Xét ΔBIO có
BC là đường cao
BC là đường phân giác
Do đó: ΔBIO cân tại B
=>BI=BO
=>B nằm trên đường trung trực của OI(4)
Ta có: OB=OC
IB=IC
BI=BO
Do đó: CO=CI
=>C nằm trên đường trung trực của OI(5)
Từ (4),(5) suy ra BC là đường trung trực của OI
