Question

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn \(ab+bc+ca+2abc=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-2\left(a+b+c\right)\)

Answer 1

Dự đoán GTNN của P là đạt 3 tại \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\), vậy ta sẽ C/m BĐT

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-2\left(a+b+c\right)\ge3\)

Từ giả thuyết suy ra tồn tại các số \(x;y;z>0\) sao cho

\(a=\dfrac{x}{y+z},b=\dfrac{y}{z+x},c=\dfrac{z}{x+y}\)

BĐT cần chứng minh trở thành

\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge2\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)+3\)

Để ý rằng:

\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge4\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\)

Nên BĐT sẽ đúng nếu ta C/m được

\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)

Nhưng đây chính là BĐT Nesbitt quen thuộc, vì vậy BĐT ban đầu đúng