Dự đoán GTNN của P là đạt 3 tại \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\), vậy ta sẽ C/m BĐT
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-2\left(a+b+c\right)\ge3\)
Từ giả thuyết suy ra tồn tại các số \(x;y;z>0\) sao cho
\(a=\dfrac{x}{y+z},b=\dfrac{y}{z+x},c=\dfrac{z}{x+y}\)
BĐT cần chứng minh trở thành
\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge2\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)+3\)
Để ý rằng:
\(\dfrac{y+z}{x}+\dfrac{z+x}{y}+\dfrac{x+y}{z}\ge4\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)\)
Nên BĐT sẽ đúng nếu ta C/m được
\(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\ge\dfrac{3}{2}\)
Nhưng đây chính là BĐT Nesbitt quen thuộc, vì vậy BĐT ban đầu đúng
