Ôn tập cuối năm môn Đại số

Kinder

Cho 3 số a, b, c thuộc đoạn [1; 2]. Tìm Max \(S=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{abc}\)

Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 7 2021 lúc 16:53

Do vai trò a;b;c như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(2\ge a\ge b\ge c\ge1\) 

\(\Rightarrow1\le\dfrac{a}{c}\le2\)

Đồng thời \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\Leftrightarrow ab+bc\ge b^2+ac\) (1)

Chia 2 vế của (1) cho \(bc:\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}+1\ge\dfrac{b}{c}+\dfrac{a}{b}\)

Chia 2 vế của (1) cho \(ab\Rightarrow1+\dfrac{c}{a}\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}\)

Cộng vế: \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\le\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+2\)

Do đó:

\(S=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)+\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}+3\)

\(S\le2\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+5\)

Đặt \(\dfrac{a}{c}=x\Rightarrow1\le x\le2\)

\(S\le2\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+5=\dfrac{2x^2-5x+2}{x}+10=\dfrac{\left(2x-1\right)\left(x-2\right)}{x}+10\le10\)

\(S_{max}=10\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;2\right);\left(1;2;2\right)\) và các hoán vị

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Kinder
Xem chi tiết
Melanie Granger
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Legolas
Xem chi tiết
Legolas
Xem chi tiết
btkho
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Trần Thanh Phương
Xem chi tiết