a)Chứng minh BĐT phụ sau: \(\frac{p^2}{m}+\frac{q^2}{n}\ge\frac{\left(p+q\right)^2}{m+n}\) (m,n>0) (*)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2n+q^2m}{mn}-\frac{p^2+2pq+q^2}{m+n}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2n\left(m+n\right)+q^2m\left(m+n\right)-p^2mn-2pqmn-q^2mn}{mn\left(m+n\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(pq\right)^2-2.qp.mn+\left(qm\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(pn-qm\right)^2}{mn\left(m+n\right)}\ge0\) (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi pn = qm.
Áp dụng BĐT (*) 2 lần,ta có: \(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}^{\left(đpcm\right)}\)
b) Có cách này như mình không chắc:
Chuẩn hóa abc = 1.Đặt \(\left(a;b;c\right)\rightarrow\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\)
Ta cần chứng minh: \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\)
Ta có: \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}\ge2.\frac{z}{x}\) (Cô si)
\(\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge2.\frac{x}{y}\)
\(\frac{y^2}{x^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge2.\frac{y}{z}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên,ta được:\(2\left(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\right)\ge2\left(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\)
Suy ra \(\frac{y^2}{x^2}+\frac{z^2}{y^2}+\frac{x^2}{z^2}\ge\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{y^2}{x^2}=\frac{z^2}{y^2}\\\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2}{z^2}\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{y^2}{x^2}=\frac{z^2}{y^2}=\frac{x^2}{z^2}\Leftrightarrow\frac{y}{x}=\frac{z}{y}=\frac{x}{z}\Leftrightarrow a=b=c\)
Ta có:
a, a^2/(b + c) + (b + c)/4 >= a
=> a^2/(b + c) >= a - (b + c)/4 (1)
Tương tự ta có
b^2/(c + a) >= b - (c + a)/4 (2)
c^2/(a + b) >= c - (a + b)/4 (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
b^2/(a + c) + c^2/(a + b) >= a - (b + c)/4 + b - (c + a)/4 + c - (a + b)/4
= (a + b + c)/2
Dấu = xảy ra khi a = b = c
b,Ta có: ab/c + bc/a + ca/b - (a + b + c)\(\ge\)0
= ab/c - a + bc/a - b + ca/b - c\(\ge\)0
= (ab-ac)/c + (bc-ba)/a + (ca -cb)/b\(\ge\)0
= [a^2b(b-c) + b^2c(c-a) + c^2a(a-b)]/abc \(\ge\)0 (Vì a,b,c > 0).
Vậy: ab/c + bc/a + ca/b ≥ a + b + c.
Dấu "=" câu a) bạn tự giải.
Mà nãy mình quên sửa đề câu a) bạn lại là:
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a+b+c}{2}\) nhé!
Chỗ dấu "=" câu b) mình lí luận thêm tí nữa cho hay hơn nhé:
\(\frac{y}{x}=\frac{z}{y}=\frac{x}{z}\Leftrightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow a=b=c\) :)
b) \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
<=> \(\frac{abc}{a^2}+\frac{abc}{b^2}+\frac{abc}{c^2}\ge a+b+c\)
<=> \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\)
<=> \(\frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\ge\frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{ab}\)
<=> \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)^2+\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{c}\right)^2\ge0\)đúng mọi a, b, c >0
"=" <=> a=b=c
