Cách khác dễ hiểu hơn
Áp dụng BĐT Cô si 2 số ko âm
Ta có: \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{a^4}=2a^2\)
Tương tự rồi sau đó lại có:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
Áp dụng BĐT Cô si với 3 số k âm
\(\frac{a^3}{b}+\frac{a^3}{b}+b^2\ge\frac{3\sqrt[3]{a^3.a^3.b^2}}{b^2}=3a^2\)
\(\frac{b^3}{c}+\frac{b^3}{c}+b^2\ge3b^2\)
\(\frac{c^3}{a}+\frac{c^3}{a}+c^2\ge3c^2\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\right)+a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge a^2+b^2+c^2\)
Mà \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
