Question

Cho a,b,c >0; a+b+c =1.

Tìm GTLN của Q= \(\frac{ab+c}{c+1}+\frac{bc+a}{a+1}+\frac{ac+b}{b+1}\)

Answer 1

Ta có:

\(\frac{ab+c}{c+1}=\frac{ab+c}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\)\(\le\frac{ab+c}{4\left(a+c\right)}+\frac{ab+c}{4\left(b+c\right)}\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{bc+a}{a+1}\le\frac{bc+a}{4\left(a+b\right)}+\frac{bc+a}{4\left(a+c\right)}\left(2\right)\)

\(\frac{ac+b}{b+1}\le\frac{ac+b}{4\left(a+b\right)}+\frac{ac+b}{4\left(b+c\right)}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) ta có:

\(Q\le\frac{a+b+c+3}{4}=1\)

Dấu = khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)