Question

cho a+b=1. CMR a²+b²>= 1/2

Answer 1

Lời giải:
$a^2+b^2-\frac{1}{2}=\frac{2(a^2+b^2)-1}{2}$

$=\frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{2}=\frac{a^2+b^2-2ab}{2}=\frac{(a-b)^2}{2}\geq 0$ với mọi $a,b$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Answer 2

Cách 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2$

$\Rightarrow 2(a^2+b^2)\geq 1$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq \frac{1}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$