Việc chứng minh BĐT trên \(\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}\ge\frac{5}{2}\left(x\ge2\right)\)
Dự đoán dấu "=" xảy ra tại x = 2.Ta có:
\(VT=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{3}{4}x\ge2\sqrt{\frac{1x}{4x}}+\frac{3}{4}x\ge1+\frac{3}{4}.2=\frac{5}{2}\)
Áp dụng vào với lưu ý rằng: \(\frac{1}{x}=\frac{1}{\frac{1}{x}}\) ,ta có:
\(\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge\left(\frac{5}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}+\frac{25}{4}=\frac{25}{2}=12,5\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{1}{\frac{1}{a}}=\frac{1}{\frac{1}{b}}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2\)
Theo đề bài thì \(a+b=1\) suy ra \(a=b=\frac{1}{2}\)
Bạn sửa chỗ này lại giúp mình : "Áp dụng vào với lưu ý rằng \(x=\frac{1x}{1}=\frac{1}{\frac{1}{x}}\),ta có" giúp mình nhé! đánh máy thiếu :v
