Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hồ Văn Đạt

cho a,b>0 thỏa mãn a+b=1. chứng minh (a+1/b)^2 + (b+1/a)^2 lớn hơn hoặc bằng 25/2

zZz Cool Kid_new zZz
21 tháng 2 2020 lúc 20:03

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{25}{2}\) 

tại a=b=1/2

Khách vãng lai đã xóa
Lê Tài Bảo Châu
21 tháng 2 2020 lúc 21:57

thêm ít cách

Cách 1:

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta được:

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]\left(1^2+1^2\right)\ge\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)+\left(b+\frac{1}{a}\right)\right]^2\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2\)(1)

Ta có:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)( tự CM nha )

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge4\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được: 

\(\left[\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\right]2\ge25\)

\(\Rightarrow\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\ge\frac{25}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 2: 

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

Ta có: \(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\)

\(=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{16b^2}+\frac{15}{16b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{16a^2}+\frac{15}{16a^2}\)

\(=\left(a^2+\frac{1}{16a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{16b^2}\right)+\left(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\right)+\left(\frac{15}{16b^2}+\frac{15}{16a^2}\right)\)

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+\frac{1}{16a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{16a^2}}\ge\frac{1}{2}\)(3)

\(b^2+\frac{1}{16b^2}\ge2\sqrt{b^2.\frac{1}{16b^2}}\ge\frac{1}{2}\)(4)

\(\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a}\ge2\sqrt{\frac{2a}{b}.\frac{2b}{a}}\ge4\)(5)

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge2\sqrt{\frac{15.15}{16.16a^2b^2}}=\frac{15}{8ab}\)(1) 

ÁP dụng BĐT AM-GM ta có:

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)(2)

Thay (2) vào (1) ta được:

\(\frac{15}{16a^2}+\frac{15}{16b^2}\ge\frac{15}{2}\)(6)

Cộng (3)+(4)+(5)+(6) ta được: 

\(P\ge\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{15}{2}+4=\frac{25}{2}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Cách 3:Làm tắt thui ạ

Đặt \(P=\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2\)

\(\left(a+\frac{1}{b}\right)^2+\left(b+\frac{1}{a}\right)^2=a^2+\frac{2a}{b}+\frac{1}{b^2}+b^2+\frac{2b}{a}+\frac{1}{a^2}\ge2ab+\frac{2}{ab}+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{ab}\right)+4\)

\(P\ge2\left(ab+\frac{1}{16ab}+\frac{15}{16ab}\right)+4\)

giống cách 2 rồi làm nốt

Khách vãng lai đã xóa
l҉o҉n҉g҉ d҉z҉
11 tháng 2 2021 lúc 16:32

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKY DẠNG PHÂN THỨC TA CÓ : 

\(\left(A+\frac{1}{B}\right)^2+\left(B+\frac{1}{A}\right)^2\ge\frac{\left(A+\frac{1}{B}+B+\frac{1}{A}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)^2}{2}\)(1)

LẠI CÓ \(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\ge\frac{4}{A+B}=\frac{4}{1}=4\)(2)

TỪ (1) VÀ (2) => \(\left(A+\frac{1}{B}\right)^2+\left(B+\frac{1}{A}\right)^2\ge\frac{\left(1+\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{25}{2}\)

=> \(\left(A+\frac{1}{B}\right)^2+\left(B+\frac{1}{A}\right)^2\ge\frac{25}{2}\)(ĐPCM)

ĐẲNG THỨC XẢY RA <=> A = B = 1/2

Khách vãng lai đã xóa
_ Ta có :
(a+1a)2+(b+1b)2=(a2+b2)+(1a2+1b2)+4(a+1a)2+(b+1b)2=(a2+b2)+(1a2+1b2)+4
_ Bằng biến đổi tương đương, ta có :
2(a2+b2)≥(a+b)2⇔a2+b2≥122(a2+b2)≥(a+b)2⇔a2+b2≥12
_ Áp dụng Bất đẳng thức CauchyCauchy, ta có :
a+b≥2√ab⇔√ab≤12⇔a2b2≤116⇔1a2b2≥16⇔a2+b2a2b2≥12.16=8a+b≥2ab⇔ab≤12⇔a2b2≤116⇔1a2b2≥16⇔a2+b2a2b2≥12.16=8
_ Nên :
VT≥12+8+4=252=VP(đpcm)VT≥12+8+4=252=VP(đpcm)
_ Dấu "=" khi : a=b=12 
Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
le quang vi
Xem chi tiết
Hoàng Lâm Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Kiệt
Xem chi tiết
NguyenThu Ha
Xem chi tiết
Achana
Xem chi tiết
AKPD
Xem chi tiết
an nam
Xem chi tiết
Hanh Nguyen
Xem chi tiết
Đỗ Đức Lợi
Xem chi tiết