Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Online Math

Cho a,b>0, a+b=1

C/m: \(\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{25}{4}\)

Akai Haruma
7 tháng 1 2020 lúc 16:38

\left\{\begin{matrix}
\\
\end{matrix}\right.

Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
29 tháng 1 2020 lúc 9:57

Lời giải:

Ta có:

\((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})=ab+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{ab}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2\)

\(ab+\frac{1}{16ab}\geq \frac{1}{2}\)

\(\frac{15}{16ab}\geq \frac{15}{4(a+b)^2}=\frac{15}{4}\)

Cộng theo vế các BĐT trên:

\((a+\frac{1}{a})(b+\frac{1}{b})\geq \frac{25}{4}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Online Math
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Thỏ bông
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Qynh Nqa
Xem chi tiết
Trần Quý
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Nguyễn Văn Quang
Xem chi tiết
DRACULA
Xem chi tiết