Question

Cho a,b thỏa mãn 2a² + a=3b²+b. Chứng minh rằng a-b và 3a+3b +1 là số chính phương

Answer 1

Có 2a^2 + a = 3b^2 + b

<=> 2a^2 + a - 3b^2 - b = 0

<=> 3a^2 + a - 3b^2 - b = a^2

Xét (a-b).(3a+3b+1) = 3a^2-3ab+3ab-3b^2+a-b = 3a^2-3b^2+a-b = a^2 là 1 số chính phương (1)

Gọi ƯCLN của a-b;3a+3b+1 là d ( d thuộc N sao )

 => a-b chia hết cho d

     3a+3b+1 chia hết cho d

     a^2 chia hết cho d^2

=> a-b chia hết cho d , 3a+3b +1 chia hết cho d , a chia hết cho d

=> a chia hết cho d , b chia hết cho d , 3a+3b+1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d => d = 1 ( vì d thuộc N sao )

=> a-b và 3a+3b+1 nguyên tố cùng nhau (2)

Từ (1) và (2) => a-b và 3a+3b+1 đều là số chính phương