Question

Cho a.b + b.c + c.a = 1 . Với a,b,c thuộc tập hợp số hữu tỉ Q

Chứng Minh :   A = ( a² + 1 ) . ( b² + 1 ) . ( c² + 1 )  là bình phương của 1 số hữu tỉ

Answer 1

Ta có : \(a^2+1=a^2+ab+bc+ac=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\)

\(b^2+1=b^2+ab+bc+ac=b\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\)

\(c^2+1=c^2+ab+bc+ac=b\left(a+c\right)+c\left(a+c\right)=\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)=\left(a+b\right)^2.\left(b+c\right)^2.\left(c+a\right)^2=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)

là bình phương của một số hữu tỉ.