\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd.\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+2\left(a^2b^2-2abcd+c^2d^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(ab-cd\right)^2=0\)
VÌ \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0;\left(c^2-d^2\right)^2\ge0\)
\(\left(ab-cd\right)^2\ge0\)
mà \(\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c^2-d^2\right)^2+\left(ab-cd\right)^2=0\)
nên \(\hept{\begin{cases}a^2-b^2=0\\c^2-d^2=0\\ab-cd=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2=b^2\\c^2=d^2\\ab=cd\end{cases}}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\a^2=c^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\c=d\\a=c\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\left(dcpcm\right)\)
Hoặc là bợn có thể dùng : \(a^2+b^2\ge2ab\)
:3
Max easy!Cô si vào giả thiết một phát là ra ngay!
\(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\)
Ta sẽ c/m \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
Thật vậy,theo Cô-si,ta có:\(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd\)
Mà theo giả thiết thì \(a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd\).
Nên để dấu "=" xảy ra thì \(a^4=b^4=c^4=d^4\Leftrightarrow a=b=c=d^{\left(đpcm\right)}\)
Bạn Thiên Thần Hye Kyo làm theo cách lớp 8 nên hơi dài dòng.
Ngoài ra bạn có thể dùng BĐT: \(x^2+y^2\ge2xy\)
Ta có: \(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)=4abcd\)
Mặt khác \(\left(a^4+b^4\right)+\left(c^4+d^4\right)\)\(\ge2\left(a^2b^2+c^2d^2\right)\ge2.2\sqrt{a^2b^2c^2d^2}=4abcd\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=b^2=c^2=d^2\Leftrightarrow a=b=c=d^{\left(đpcm\right)}\)
