Ta có: \(A=2017+2017^2+\cdots+2017^{18}\)
\(=\left(2017+2017^2+2017^3\right)+\left(2017^4+2017^5+2017^6+2017^7+2017^8\right)+\left(2017^9+2017^{10}+2017^{11}+2017^{12}+2017^{13}\right)+\left(2017^{14}+2017^{15}+2017^{16}+2017^{17}+2017^{18}\right)\)
\(=2017\left(1+2017+2017^2\right)+2017^4\left(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\right)+2017^9\cdot\left(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\right)+2017^{14}\left(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\right)\)
\(=2017\cdot4070307+\left(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\right)\cdot\left(2017^4+2017^9+2017^{14}\right)\)
Ta có: 1 có chữ số tận cùng là 1
2017 có chữ số tận cùng là 7
\(2017^2\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(7^2\)
mà \(7^2=49\) có chữ số tận cùng là 9
nên \(2017^2\) có chữ số tận cùng là 9
\(2017^3\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(7^3\)
mà \(7^3=343\) có chữ số tận cùng là 3
nên \(2017^3\) có chữ số tận cùng là 3
\(2017^4\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(7^4\)
mà \(7^4=2401\) có chữ số tận cùng là 1
nên \(2017^4\) có chữ số tận cùng là 1
Do đó: \(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của 1+7+9+3+1=21 có chữ số tận cùng là 1(1)
Ta có: \(2017^4\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(7^4\)
mà \(7^4=2401\) có chữ số tận cùng là 1
nên \(2017^4\) có chữ số tận cùng là 1
9:4=2 dư 1
=>\(2017^9\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(2017^1=2017\)
=>\(2017^9\) có chữ số tận cùng là 7
Vì 14:4=3 dư 2
nên \(2017^{14}\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(2017^2\)
mà \(2017^2\) có chữ số tận cùng là 9
nên \(2017^{14}\) có chữ số tận cùng là 9
Do đó: \(2017^4+2017^9+2017^{14}\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của 1+7+9=10+7=17
=>\(2017^4+2017^9+2017^{14}\) có chữ số tận cùng là 7(2)
Từ (1),(2) suy ra \(\left(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\right)\cdot\left(2017^4+2017^9+2017^{14}\right)\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của \(1\cdot7=7\)
hay \(\left(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\right)\cdot\left(2017^4+2017^9+2017^{14}\right)\) có chữ số tận cùng là 7
mà \(2017\cdot4070307\) có chữ số tận cùng là 9
nên \(=2017\cdot4070307+\left(1+2017+2017^2+2017^3+2017^4\right)\cdot\left(2017^4+2017^9+2017^{14}\right)\) có chữ số tận cùng trùng với chữ số tận cùng của 9+7=16
=>A có chữ số tận cùng là 6
