ac+bd=0 => (ac+bd)(bc+ad)=0
=> abc2 +a2cd+ b2cd+ abd2=0
=> cd(a2+b2)+ ab(c2+d2)=0
mà a2+b2=1; c2+d2=1 =>cd+ab=0
(đúng thì tk nha)
Ta có: \(\left(ac+bd\right)\left(bc+da\right)=0\)
\(\Leftrightarrow c^2ab+a^2cd+b^2cd+d^2ab=0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(c^2+d^2\right)+cd\left(a^2+b^2\right)=0\)
Mà \(c^2+d^2=1\)\(a^2+b^2=1\)
\(\Rightarrow ab+cd=0\)
(ac+bd)(bc+ad)=0
<=>abc2+a2cd + b2cd+abd2=0
<=> ab(c2+d2) +cd (a2+b2)=0
<=>ab+cd=0
Ta có:
\(ab+cd=ab\left(c^2+d^2\right)+cd\left(a^2+b^2\right)\)
\(=abc^2+abd^2+cda^2+cdb^{^2}\)
\(=\left(ad+bc\right)\left(bd+ac\right)=0\)
Cách 1: Sử dụng giả thiết \(a^2+b^2=c^2+d^2=1\) và \(ac+bd=0\) ta có :
\(ab+cd=ab\left(c^2+d^2\right)+cd\left(a^2+b^2\right)=\left(ac+bd\right)\left(ad+bc\right)=0\).
Cách 2: Chỉ có hai khả năng \(abcd=0\) hoặc \(abcd\ne0\).
- Nếu \(abcd=0\) thì chẳng hạn \(a=0\) thế vào các giả thiết suy ra \(b^2=1\) và \(bd=0\), suy ra \(d=0\). Từ đó
\(a=d=0\Rightarrow ab+cd=0\) (đpcm).
- Nếu \(abcd\ne0\) thì từ giả thiết \(ad+bc=0\) suy ra \(\frac{a}{b}=-\frac{c}{d}\). Đặt \(\frac{c}{d}=t\) thì \(a=-tb;c=td\). Thế vào giả thiết suy ra
\(1=a^2+b^2=\left(-tb\right)^2+b^2\Rightarrow b^2=\frac{1}{1+t^2}\) và \(1=c^2+d^2=\left(td\right)^2+d^2\Rightarrow d^2=\frac{1}{1+t^2}\)
Từ đó suy ra \(b^2=d^2\) nên \(ab+cd=\left(-tb\right)b+\left(td\right)d=t\left(d^2-b^2\right)=0\).
Cách 3: Từ giả thiết suy ra tồn tại \(x,y\) sao cho \(a=cosx,b=sinx\) và \(c=cosy;d=siny\). Từ đó
\(ab+cd=\frac{1}{2}\left(sin2x+sin2y\right)=sin\left(x+y\right)cos\left(x-y\right)=0\)
do \(cos\left(x-y\right)=cosxcosy+sinxsiny=ac+bd=0\).
Bạn đơn giản hiểu là : bình phương của một số nguyên là số nguyên dương thì trong đề bài chắc chắn là a = 0 hoặc b = o và c= 0 hoặc d = 0
