Question

Cho a và b là hai số thực phân biệt thỏa mãn \(a^4-4a=b^4-4b\). Chứng minh rằng 0<a+b<2

Answer 1

Lời giải:
$a^4-4a=b^4-4b$

$\Leftrightarrow (a^4-b^4)-(4a-4b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)(a+b)(a^2+b^2)-4(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)[(a+b)(a^2+b^2)-4]=0$

$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)-4=0$ (do $a-b\neq 0$ với mọi $a,b$ phân biệt)

$\Rightarrow (a+b)(a^2+b^2)=4>0$

Mà $a^2+b^2>0$ với mọi $a,b$ phân biệt nên $a+b>0$

Mặt khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$4=(a+b)(a^2+b^2)\geq (a+b).\frac{(a+b)^2}{2}$

$\Rightarrow 8> (a+b)^3$

$\Rightarrow 2> a+b$

Vậy $0< a+b< 2$ 

Ta có đpcm.